Задача №1
|
|
|
|
|
|
1.Три сферы, каждая радиуса r, касаются плоскости ?, и каждая из сфер касается двух других. Найти радиус четвертой сферы, касающейся плоскости ? и каждой из трех сфер.
Решение. Пусть О1, О2, О3 - центры данных сфер, О - центр четвертой сферы. Имеем О1О2=О2О3=О3О1=2r. Четвертая сфера, очевидно, только внешне может касаться данных сфер, поэтому ОО1=ОО2=ОО3= r +x, где x - радиус четвертой сферы. Точка О равноудалена от точек О1, О2, О3, поэтому лежит на перпендикуляре к плоскости (О1О2О3), проведенном через центр правильного треугольника О1О2О3. От плоскости ? (на рисунке эта плоскость задана точками касания К1, К2, К3) точка О удалена на расстояние x, ОК=x. Каждая из точек О1, О2, О3 удалена от плоскости ? на расстояние r. Поскольку РК перпендикулярна ?, то и РК= r, а РО= r-x. Учитывая, что РО1= 2r /3, из прямоугольного треугольника ОРО1 имеем  О1О2=О1Р2+РО2, (r + x)2 = 4/3 * r2 + (r-x)2. Из этого уравнения находим, что x = r/3. 
|
|
|