|
Сферическая геометрия - раздел математики, в котором изучаются фигуры, расположенные на сфере. Сферическая геометрия возникла в связи с потребностями астрономии.
Роль прямых в сферическая геометрии играют большие окружности, то есть окружности, получающиеся в пересечении серы с плоскостями, проходящими через центр сферы. Через две не являющиеся диаметрально противоположными точки сферы А и В можно провести единственную большую окружность, что вполне соответствует аксиоме планиметрии. Точки А и В эту большую окружность на две дуги - два сферических отрезка, меньший из которых является кратчайшей линией на сфере соединяющей А с В. Если углы измерять в радианах, то на сфере радиуса 1 такое измерение отрезка обычно равной длине дуги.
В сферической геометрии в отличие от планиметрии обычно отсутствуют сферические прямые: любые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы. Угол между сферическими прямыми - большими окружностями - определяется как угол между их плоскостями, или, что то же самое, как угол между касательными к этим окружностям в точке их пересечения.
Если провести на сфере три большие окружности то сфера разобьется на 8 треугольников. В отличие от планиметрии, сумма углов любого треугольника больше чем 1800, или p, причем она не постоянна, а зависит от площади треугольника. А именно площадь треугольника на сфере радиуса 1 связана с суммой его углов А, В и С формулой Жирара (А. Жирар - нидерландский математик 1595-1632):
SАВС=А+В+С-p (углы А, В и С измеряются в радианах).
Для сферических треугольников справедливы три известных планиметрических признаков равенства. На сфере справедлив еще один признак равенства - по трем углам. Подобных, но не равных между собой сферических треугольников не существует. Для сферических треугольников, однако, остаются справедливыми многие теоремы планиметрии, например теоремы о пересечении в одной точке серединных перпендикуляров к сторонам, биссектрис внутренних углов, медиан и даже высот, лишь стой разницей, что эти линии дают сразу по две диаметральные точки пересечения. Теоремы косинусов и синусов приобретают необычный вид:
Сферическая геометрия представляет собой своеобразный мост между планиметрией и стереометрией, так как сферические многоугольники получаются при пересечении сферы с многогранными углами с вершиной в центре сферы, сферические окружности - в пересечении сферы с коническими поверхностями и т.д. Все теоремы о сферических треугольниках можно переформулировать в термины трехгранных углов, В частности, две последние формулы часто называют теоремами синусов и косинусов для трехгранного угла.
Интересно, что исторически эти теоремы предшествовали аналогичным теоремам плоской геометрии, поскольку потребность людей в знаниях по астрономии, необходимых для исчисления времени, возникла прежде других потребностей человека, связанных с измерением углов. Исходя из геоцентрической гипотезы Вселенной, древнегреческие ученые рассматривали землю как шар, находящийся в центре небесной сферы, которая равномерно вращается вокруг своей оси. При изучении закономерностей движения светил возникли многочисленные математические задачи, связанные со свойствами сферы и фигур, которые образуют на ней большие окружности.
Автором первого капитального сочинения о "сферике" - так называли сферическую геометрию древние греки - был, по- видимому математик и астроном Евдокс Книдский (ок. 408-355 до н. э.). Но самым значительным произведением была "Сферика" Минелая Александрийского, греческого ученого, жившего в первом веке, который обобщил знания своих предшественников и получил большое количество новых результатов. Построена его книга аналогично "Началам" Евклида, и долгое время она служила учебником для астрономов. В IX - XIII в. "Сферика", переведенная на арабский язык, внимательно изучалась учеными Ближнего и Среднего Востока, откуда в XII в., в переводе с арабского, стала известна в Европе.
Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые, по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геометрических сьемках больших поверхностей Земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.
|
