Призма называется вписанной в цилиндр (а цилиндр - описанным около призмы), если основания призмы вписаны в основания цилиндра.
Утверждение. Для того чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.
Цилиндр называется вписанным в призму (а призма - описанной около цилиндра), если основания цилиндра вписаны в основания призмы.
Утверждение. Для того чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо, чтобы призма была прямая и в основание ее можно было вписать окружность.
Пирамида называется вписанной в конус (а конус - описанным около пирамиды), если ее вершина совпадает с вершиной конуса, а основание вписано в основание конуса.
Утверждение. Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды имели равные длины.
Пирамида называется описанной около конуса (а конус - вписанным в пирамиду), если вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды описано около основания конуса.
Утверждение. Для того чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а основание высоты пирамиды было центром этой окружности.
Для пирамиды и призмы имеют место следующие утверждения:
Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.
Для того чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и чтобы около ее основания можно было описать окружность.
Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр окружности, описанной около основания.
Центр сферы, описанной около призмы, является серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы.
Из всего этого следует, что около любой правильной пирамиды и около любой правильной призмы можно описать сферу.
Сфера называется вписанной в многогранный угол, если она касается каждой его грани.
Сфера называется вписанной в многогранник (а многогранник - описанным около сферы), если она касается всех его граней.
Утверждение. В любой тетраэдр можно вписать сферу.
Утверждение. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.
Утверждения. Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности.
В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее высота равна диаметру окружности, вписанной в основание.
|